UFES, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Estudos UFES - Cálculo 1 - Lista 10, Questão 27
Nos exercícios a . verifique a igualdade.
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Nós temos que verificar a igualdade
Bem, não tem muito segredo! Vamos usar derivadas conhecidas e a regra do produto para expandir o lado esquerdo e ver se a igualdade se mantém! A regra do produto é tal que
Vamos tentar aplicar isso para resolver o nosso problema! Bora lá!
Passo 2
Primeiro podemos usar a linearidade do operador derivada para escrever que
Temos duas derivadas que podem ser resolvidas pela regra do produto, primeiro identificando que e , podemos escrever que
aqui, podemos usar a regra do tombo
com e a derivada conhecida
obtemos então que
Vamos resolver a outra derivada agora!
Passo 3
Podemos agora identificar que e , podemos escrever a regra do produto como
podemos usar a linearidade da derivada, a regra do tombo que apresentei antes para e lembrar que a derivada de constante é igual a zero, para escrever que
Agora, para a outra derivada devemos reconhecer que uma função composta da forma , deve ser resolvida pela regra da cadeia
como temos que e que , podemos usar a regra do tombo para escrever que
e, analogamente ao que fizemos antes, temos que
Juntando os dois resultados, temos que
Portanto a nossa segunda derivada é
Vamos juntar os nossos resultados agora!
Passo 4
Usando os resultados dos passos anteriores
Juntando alguns termos em comum que podem ser identificados expandindo os produtos, temos que
Agora, se evidenciarmos a em todos os termos, obtemos que
ou simplesmente
note que no colchetes todos os termos cancelam, portanto, mostramos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!