UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P6a
Encontre a derivada das funções abaixo de duas formas (aplicando diretamente uma regra ou simplificando/multiplicando primeiro e aplicando outra regra) e verifique que o resultado é o mesmo
Passo 1
E ai galera, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema pediu para calcularmos a derivada da função
Por duas formas:
- simplificando antes a função (deixando-a mais simples) e derivando (usando alguma regra de derivação), e
- derivando a função do jeito que ela está (sem simplificar nada), usando outra regra
A ideia desse exercício é verificar que, seja por qual caminho você siga, se derivar tudo certinho, o resultado vai ser o mesmo!
Repare que essa função é uma razão entre polinômios. E assim a gente pode simplificar termo a termo, aplicar a regra de derivação de uma potência, ou sem simplificar, aplicar a regra do quociente, já que se trata de uma razão de funções.
Passo 2
Vamos fazer a derivada do primeiro jeito, simplificando a função antes de derivá-la. A função é
Precisamos relembrar que , e aí podemos transformar essa razão em vários termos de mesmo denominador, saca só
E simplificar a função:
E derivar essa função aplicando a regra da potência:
Vamos guardar esse resultado!
Tranquilo?
O próximo passo é derivar a função novamente, mas sem simplificar!
Vamos lá?
Passo 3
A função sem simplificar é assim:
Ela pode ser vista como o quociente de duas outras funções e :
E a derivada de uma função assim pode ser encontrada aplicando a regra do quociente:
No nosso caso
E a derivada é:
E a função debaixo é:
cuja derivada é
Agora é só aplicar essas funções/derivadas na regra do quociente:
Parece horrível! Mas se estamos certos, ao simplificarmos essa função, o resultado será o mesmo que encontramos no passo 2!
Passo 4
Agora bora simplificar esse resultado
Fazendo as multiplicações no numerador:
Agora só falta simplificar! Vou separar em três termos de mesmo denominador
E comparando com a resposta que encontramos no passo 2:
Obtemos o mesmo resultado!
Que legal né!
Espero ter te ajudado! Até a próxima!