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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

  1. Determine a derivadas das funções abaixo.

f. f x = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 4 x 3 + 5 x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema é bem direto na pergunta e pede para calcularmos a derivada de f x .

f x = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 4 x 3 + 5 x 2

Repara que temos então uma função que é uma divisçao de duas funções. Então para calcular essa derivada temos que lembrar que:

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Além disso, temos uma soma nessa derivada e para isso temos que lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

f x = g x ± h x → f ' x = g ' x ± h ' x

Bora aplicar!

Passo 2

A nossa função é

f x = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 4 x 3 + 5 x 2

Pela regra do quociente teremos,

f ' x = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' 4 x 3 + 5 x 2 - 3 x 3 - 2 x 2 + 4 4 x 3 + 5 x 2 ' 4 x 3 + 5 x 2 2

Então o que temos que fazer agora é derivar 3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' e 4 x 3 + 5 x 2 '

Passo 3

Para derivar 3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' , vamos aplicar a regra da soma

3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' = 3 x 3 ' - 2 x 2 ' + 4 '

Para a primeira e segunda parte derivada, vamos usar a regra do polinômio, que diz:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Para o primeiro termo temos que n = 3 ,

3 x 3 ' = 3 3 x 3 - 1 = 9 x 2

Para o segundo termo temos que n = 2

2 x 2 ' = 2 2 x 2 - 1 = 4 x

Como o último termo da soma é uma constante, a sua derivada é zero.

4 ' = 0

Juntando, ficamos com,

3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' = 9 x 2 - 4 x + 0

Vamos para a próxima!

Passo 4

Para derivar 4 x 3 + 5 x 2 ' , vamos aplicar o mesmo raciocínio anterior,

4 x 3 + 5 x 2 ' = 4 x 3 ' + 5 x 2 '

Aplicando a regra do polinômio, para o primeiro termo onde n = 3 ,

4 x 3 ' = 4 3 x 3 - 1 = 12 x 2

Para o segundo termo temos que n = 2

5 x 2 ' = 5 2 x 2 - 1 = 10 x

Juntando, ficamos com,

4 x 3 + 5 x 2 ' = 12 x 2 + 10 x

Passo 5

Pela regra do quociente, tínhamos:

f ' x = 3 x 3 - 2 x 2 + 4 ' 4 x 3 + 5 x 2 - 3 x 3 - 2 x 2 + 4 4 x 3 + 5 x 2 ' 4 x 3 + 5 x 2 2

Substituindo as derivadas encotradas,

f ' x = 9 x 2 - 4 x 4 x 3 + 5 x 2 - 3 x 3 - 2 x 2 + 4 12 x 2 + 10 x 4 x 3 + 5 x 2 2

f ' x = 36 x 5 + 33 x 4 - 20 x 3 - 36 x 5 + 6 x 4 - 20 x 3 + 48 x 2 + 40 x 4 x 3 + 5 x 2 2

f ' x = 24 x 4 + 48 x 2 + 40 x 4 x 3 + 5 x 2 2

Prontinho!

Resposta

f ' x = 24 x 4 + 48 x 2 + 40 x 4 x 3 + 5 x 2 2

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