1. Determine a derivadas das funções abaixo.

h. f(x) = e^x / (x^5 + 2x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema é bem direto na pergunta e pede para calcularmos a derivada de f x .

f x = e x x 5 + 2 x

Repara que temos então uma função que é uma divisçao de duas funções. Então para calcular essa derivada temos que lembrar que:

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Além disso, temos uma soma nessa derivada e para isso temos que lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

f x = g x ± h x → f ' x = g ' x ± h ' x

Bora aplicar!

Passo 2

A nossa função é

f x = e x x 5 + 2 x

Pela regra do quociente teremos,

f ' x = e x ' x 5 + 2 x - e x x 5 + 2 x ' x 5 + 2 x 2

Então o que temos que fazer agora é derivar e x ' e x 5 + 2 x '

Passo 3

Para derivar e x ' , temos que lembrar da derivação da função exponcial. Para quem não lembra, ela é assim:

f x = e x → f ' x = e x

Ou seja,

e x ' = e x

Vamos para a próxima!

Passo 4

Para derivar x 5 + 2 x ' , vamos aplicar o mesmo raciocínio anterior (lembrando agora da regra da soma),

x 5 + 2 x ' = x 5 ' + 2 x '

Aplicando a regra do polinômio, para o primeiro termo onde n = 5 ,

x 5 ' = 5 x 5 - 1 = 5 x 4

Para o segundo termo temos que n = 1

2 x ' = 2 1 x 1 - 1 = 2

Juntando, ficamos com,

x 5 + 2 x ' = 5 x 4 + 2

Passo 5

Pela regra do quociente, tínhamos:

f ' x = e x ' x 5 + 2 x - e x x 5 + 2 x ' x 5 + 2 x 2

Substituindo as derivadas encotradas,

f ' x = ( e x ) x 5 + 2 x - e x 5 x 4 + 2 ' x 5 + 2 x 2

Colocando e x em evidência,

f ' x = ( e x ) x 5 + 2 x - 5 x 4 - 2 x 5 + 2 x 2

f ' x = ( e x ) x 5 - 5 x 4 + 2 x - 2 x 5 + 2 x 2

Prontinho!

Resposta

f ' x = ( e x ) x 5 - 5 x 4 + 2 x - 2 x 5 + 2 x 2

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