UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 2 - Alternativa a)
Considere a função
Calcule
Passo 1
Oiie, tudo certinho com você?
Temos uma função definida como
e precisamos calcular a sua derivada de primeira ordem . Para isso vamos precisar utilizar diversas propriedades da derivada e algumas regrinhas! As principais serão
Regra do quociente
e a regra da cadeia
Em todas estas regras usei para resumir as derivadas em relação a . Com isso tudo, e lembrando algumas derivadas específicas, iremos conseguir calcular a nossa derivada! Vamos lá!
Passo 2
Vamos passo a passo, a primeira coisa é utilizar a regra do quociente, vamos tomar a nossa função como
em que estou identificando e . Aplicando a regra do quociente, ou seja
Ou, substituindo nossa identificação, temos que
Temos que calcular as duas derivadas que faltam! E para isso vamos precisar utilizar a regra da cadeia! Vamos lá!
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
Podemos separar isso em duas derivadas da forma
A primeira derivada requer que utilizemos a regra da cadeia duas vezes, uma vez que é uma função composta, com outra função composta, ou seja, algo do tipo
em que identifico , em que e . Portanto, usando a regra da cadeia temos que
Agora vamos precisar relembrar algumas derivadas! Dê uma olhada em seus formulários, e volte aqui para continuarmos!
Passo 4
Temos as seguintes derivadas conhecidas que podem ser utilizadas
também temos que
E, podemos utilizar que
para calcular a componente que falta
Utilizando o que chamamos de , temos que
Bastante coisa neh? Ainda temos algumas derivadas para calcular, então calma! Vamos guardar este resultado por agora!
Passo 5
Para a segunda derivada, podemos usar a seguinte regra
assim como usamos em acima, mas agora, temos que . O que nos resulta em
Ou seja, temos que a primeira derivada que precisávamos calcular é
Ainda precisamos calcular mais uma derivada! Vamos com calma que a gente chega lá!
Passo 6
Precisamos calcular a derivada
Como a derivada de constantes é zero, e usando novamente que
mas agora com , temos que
Reunindo todos os resultados que calculamos até agora, temos que
E essa é a nossa derivada! A primeira alternativa foi isso! Vamos partir para a segunda! Te vejo jájá! Tchau Tchau!