Determine a derivada das funções abaixo

f(x) = (x + 4) / (x * ln(x))

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x + 4 x ln ⁡ x

E pediu a derivada!

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções h g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

f x = x + 4 x ln ⁡ x

Em cima temos ( x + 4 ) e embaixo ( x ln ⁡ x )

Assim para a regra do quociente nossa h x = x + 4 e g x = x ln ⁡ x

A regra do quociente é:

h g ' = h ' g - g ' h g 2

Então precisamos achar as derivadas de h e de g .

Tranquilo?

Passo 3

Começando pela h ( x ) :

h x = x + 4

h ' x = 1

E agora a g x :

g x = x ln ⁡ x

Embora esse termo contenha duas funções conhecidas nossas, o polinômio e o logaritmo natural, esse termo é o PRODUTO delas! Então precisamos aplicar a regra do produto na hora de derivar!

A regra do produto nos diz que a derivada de uma função que é o produto de duas funções f e g é:

a b ' = a ' b + b ' a

Podemos identificar a = x e b = ln ⁡ x , daí:

a = x         a ' = 1

b = ln ⁡ x         b ' = 1 x  

E a derivada de ( x ln ⁡ x ) é:

x ln ⁡ x ' = 1 . ln ⁡ x   + x . 1 x = ln ⁡ x + 1

Assim a derivada da função de baixo é:

g ' x = ln ⁡ x + 1

Passo 4

Agora vamos juntar todos os resultados

Nossa função original era

f x = x + 4 x ln ⁡ x

E pega regra do quociente temos

f ' x = h ' g - g ' h g 2

Mas

h = x + 4       ;         h ' = 1

g = x ln ⁡ x ;           g ' = ln ⁡ x + 1

Agora é só aplicar os resultados das derivadas na regra do quociente para achar f ' :

f ' x = 1 . x ln ⁡ x - ( ln ⁡ x + 1 ) ( x + 4 ) x ln ⁡ x 2 = - 4 ln ⁡ x + x + 4 ( x ln ⁡ x 2 )

Beleza? Esse é nosso resultado!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f ' x = - 4 ln ⁡ x + x + 4 ( x ln ⁡ x 2 )

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62. a) Se F(x) = f(x) * g(x) , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F'' = f''g + 2f'g' + fg'' b) Encontre fórmulas análogas para F'''(x) e F^4 .c) Conjecture uma fórmula para F^n.
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