Encontre y'' se y = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Oi, gente!! Tudo bem? Nessa questão, o enunciado nos pede para encontrar a derivada segunda da função y = ln ⁡ x 2 + y 2 . Então, o primeiro passo é a gente lembrar como é a derivada de l n ⁡ ( u ) .

Para quem não se lembra, eu vou ajudar!!

ln ⁡ u → D e r i v a n d o → d u u

Em outras palavras, precisamos pegar o que está dentro do argumento do l n e derivar em relação à variável desejada, que no nosso caso é x

Passo 2

Fazendo a primeria derivada, vamos ter que o argumento do l n é ( x 2 + y 2 ) , e precisamos então derivar em função de x , logo:

d d x x 2 + y 2 = 2 x

Portanto, seguindo nossa regrinha de derivada do passo 1, temos que :

y ' = d d x ln ⁡ x 2 + y 2 = 2 x x 2 + y 2

Passo 3

Agora, temos duas funções, uma no numerador e outra no denominador, implicando que precisaremos usar a regra do quociente!!

Essa regra nos diz que:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Assumindo que f = 2 x e g = x 2 + y 2 , suas derivadas podem ser calculadas:

f ' = 2

g ' = 2 x

Substitundo na regra do quociente, temos:

2 x x 2 + y 2 ' = 2 x 2 + y 2 - 2 x 2 x x 2 + y 2 2

2 x x 2 + y 2 ' = 2 x 2 + 2 y 2 - 4 x 2 x 2 + y 2 2 = 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Ou seja,

f ' ' = 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Resposta

f ' ' = 2 y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

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