UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2020.1; Exercício 4
4) Sejam , e funções diferenciáveis definidas em . Sabe-se que e para todo valor inteiro .
O valor de é
Escolha uma:
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!
Preparados para um exercício bem conceitual? A primeira coisa que percebemos é que é bem confuso de avaliarmos, não é mesmo? Uma dica que vale muito a pena é chamar tudo o que tem dentro de como , olha só:
Pensando nessa substituição, nossa função original fica:
Bem mais simpático, não acha? Agora podemos encontrar a derivada numa boa!
Passo 2
Derivando:
Legal! nós já conhecemos muito bem... Mas quem é ?
É a derivada de , então vamos calcular!
Agora que conhecemos todo mundo:
Perfeito! O enunciado já nos contou quem é , e . O único termo que falta é .
Passo 3
Partiu encontrar ?
Como há uma divisão dentro da função, precisamos utilizar a regra do quociente.
Chamaremos de e de , então:
Calculando:
Simplificando:
Passo 4
Agora que conhecemos todos os termos de , vamos aplicar:
Como queremos calcular , vamos colocar :
Veja que não conhecemos , então bora calcular!
Passo 5
Para encontrarmos , basta inserir em :
Passo 6
Agora podemos continuar o cálculo de :
Veja que não conhecemos e . Mas calma, não precisa se preocupar! O enunciado nos ensinou como encontramos esses valores.
Para . No nosso caso:
Para . No nosso caso:
Portanto:
Resolvendo:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
A.