UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P4
Sejam e funções e suponha que , , e . Determine o que se pede.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu as seguintes informações sobre uma função no ponto :
E sobre uma outra função , também no ponto :
E perguntou nos vários itens, todos relacionados com a derivada dessas funções no ponto .
Para resolver todos esses itens precisamos relembrar de algumas coisinhas sobre derivadas
- A derivada da soma/subtração, é a soma/subtração das derivadas! Isso vai ser super útil para resolver as letras (a) e (b). Lembrando que multiplicar a função por uma constante (tipo aquele 2 que aparece na letra (b)), quando derivarmos essa função, a derivada fica multiplicada pela mesma constante, beleza?
- Quando a derivada envolve o produto de funções? Aí aplicamos a regra do produto! Ela é assim, seja o produto de duas funções e , a derivada desse produto é
- Quando a derivada envolve o quociente de funções? Aplicamos a regra do quociente! Ela é assim, sejam duas funções e , a derivada do quociente dessas funções é
E aqui você precisa se ligar qual é a função que está no numerador e no denominador! Se você inverte as funções, o resultado vai ser outro! Então se liga aí!
E é isso! Bora começar?
Passo 2
Letra (a):
A derivada da soma é a soma das derivadas! Então temos
E retomando as informações sobre e que foram dadas temos
Agora é só substituir
Tranquilo? Vamos para a letra (b)?
Passo 3
Letra (b):
A derivada da subtração é a subtração das derivadas, então saca só
E lembra que falei da constante? Ela vai multiplicar a derivada de , sem problema nenhum! Resgatando as informações das derivadas
É só substituir
Beleza?
Passo 3
Letra (c):
A derivada do produto é encontrada aplicando a regra do produto!
Aqui temos e em :
Os valores das funções e e suas derivadas em são:
Agora é só substituir
Beleza?
Passo 4
Letra (d):
Nesse item o problema pede a derivada da razão das funções e
Então aqui é aplicar a regra do quociente que falei lá no passo 1 para você. Lá a função que estava no denominador era , aqui é a . Já no numerador era a aqui é a . Então é só prestar atenção e substituir direitinho
Com e em :
Os valores das funções e e suas derivadas em são:
Agora é só substituir
Tudo bem, até aqui? Vamos para a última letra?
Passo 5
Letra (e):
Nesse item o problema pede novamente a derivada da razão das funções e , mas agora em posições invertidas na fração!
Então aqui é aplicar a regra do quociente que falei lá no passo 1 para você. Lá a função que estava no denominador era , aqui é a . Já no numerador era a aqui é a . Então é só prestar atenção e substituir direitinho
Com e em :
Os valores das funções e e suas derivadas em são:
Agora é só substituir
Beleza? Espero ter ajudado! Até a próxima!
