Cálculo 1, UFMG, PSUB, 2022.1, Questão 3
Considere a função
Obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto Em que ponto a reta tangente é paralela a
Passo 1
Falaaa, blzzz?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova
Essa questão cita equação de reta tangente a um ponto, esse conceito te lembra algo??
Para fazermos esse problema vamos lembrar do seguinte conceito:
Seja uma curva, temos a derivada da equação dessa curva, daí tiramos que:
é o coeficiente da reta tangente à curva no ponto
A ideia será aplicar isso no problema.
Passo 2
Bom, como foi dito, nosso objetivo é achar a derivada de e analisar ela no ponto , bora calcular essa derivada?
Veja que é o produto de duas funções:
, por exemplo, onde e
Então para calcularmos iremos usar a regra do produto, que é:
Se tivermos:
Temos que:
Aplicando isso na função do enunciado:
Vale lembrarmos que:
Logo:
Passo 3
Como foi dito, temos que o coeficiente da reta tangente, o qual chamaremos de , em será , ou seja:
Agora, vamos lembrar que se temos o coeficiente de uma reta, um ponto no qual ela passa podemos calcular a equação da reta da seguinte forma:
Onde é o coeficiente e um ponto da reta.
Como a reta da questão é tangente no ponto , em particular, esse ponto tá na reta, ou seja, vamos usar isso e aplicar a fórmula para achar a reta:
Ou seja:
Assim acaba a primeira parte, bora ver o resto
Passo 4
Agora queremos saber em que ponto a reta tangente é paralela a .
Para que duas retas sejam paralelas precisamos que seus coeficientes sejam iguais, bora achar o coeficiente dessa retinha?
Note que:
temos que
Ou seja, queremos achar um ponto de tal que a reta tangente nesse ponto seja paralela a , ou ainda, que o coeficiente seja . Traduzindo para a matemática:
Como queremos paralelismos:
Ou seja
Logo:
Por isso, temos que a reta tangente em é paralela a , ou seja, o ponto em questão é: