9. A derivada da função f(x) = (cotg(x) + 4) / (3 * cossec(x)) é dada por

A : - 1 - 4sen(x) / 3cossec(x)

B : - (1 - 4 * cotg(x)) / (3 * cossec(x))

C : -1 / (3 * cossec^2(x))

D : - (1 - 4 * cotg(x)) / (3 * cossec^2(x))

E: (1 - 4 * cotg(x)) / (3 * cossec(x))

Passo 1

Vamos juntos derivar essa função juntos!

Para a gente conseguir derivar essa função vamos usar a regra do cociente, dada por:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

E vamos usar também as derivadas de cotg ⁡ x e de cossec ⁡ x , dadas por:

d d x cossec ⁡ x = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

d d x cotg ⁡ x = - cossec 2 ⁡ x

Vamos nessa então!

Passo 2

Temos o seguinte:

f x = cotg ⁡ x + 4 3 cossec ⁡ x

⇒ f ' x = cotg ⁡ x + 4 ' 3 cossec ⁡ x - ( cotg ⁡ x + 4 ) ( 3 cossec ⁡ x ) ' 3 cossec ⁡ x 2

= ( - cossec 2 ⁡ x ) 3 cossec ⁡ x - ( cotg ⁡ x + 4 ) ( - 3 cossec ⁡ x cotg ⁡ x ) 3 cossec ⁡ x 2

= - 3 cossec 3 ⁡ x + 3 cossec ⁡ x cotg 2 ⁡ x + 12 cossec ⁡ x cotg ⁡ x 9 cossec 2 ⁡ x

= - cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x + 4 cotg ⁡ x 3 cossec ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que:

cossec 2 ⁡ x = 1 sen 2 ⁡ x

cotg 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Então:

- cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x = - 1 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Usando que cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x , temos:

- cossec 2 ⁡ x + cotg 2 ⁡ x = - 1 sen 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x = - 1

Então a nossa derivada fica da seguinte forma:

f ' x = - 1 + 4 cotg ⁡ x 3 cossec ⁡ x = - 1 - 4 cotg ⁡ x 3 cossec ⁡ x

Então a alternativa correta é a letra B .

Resposta

B :   - 1 - 4 cotg ⁡ x 3 cossec ⁡ x

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