UFSC – 2017.2 – P1 – 2° Chamada
Calcular a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos começar derivando essa primeira expressão:
Como temos uma divisão, vamos usar a Regra do Quociente:
Aplicando essa regra na nossa expressão:
Passo 2
Vamos derivar essas funções que são partes da nossa derivada inicial, começando por:
Para isso, temos que usar a Regra do Produto, pois temos uma multiplicação entre duas funções de :
Chegamos então no resultado dessa derivada:
Agora precisamos derivar a outra parte:
Derivando isso em partes:
Percebe que dentro do logaritmo tinha uma função de , então tivemos que usar a Regra da Cadeia. Então a resposta fica:
Passo 3
Agora vamos substituir essas derivadas na derivada principal:
Vamos fazer essas multiplicações:
Fazendo uma simplificação:
Encontramos:
Então:
Terminamos a letra “a”!
Passo 4
Agora vamos derivar a letra “b”:
Vamos reescrever as raízes como potências:
Vamos dividir essa derivada em duas partes:
Passo 5
Vamos derivar primeiro essa parte aqui:
Vemos que existe uma função dentro de outra função, logo teremos que usar a Regra da Cadeia:
Agora, derivando o termo da direita:
Vamos voltar para a forma de raiz:
Substituindo na derivada inicial:
Passo 6
Vamos derivar a segunda parte:
Para isso temos que lembrar a propriedade do expoente:
Usando no nosso caso:
Vamos usar a Regra da Cadeia mais uma vez:
Voltando ao formato original:
Substituindo na nossa derivada inicial:
Acabamos!