UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 20v.
20 – Derive.
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Passo 1
Fala aí!! Tudo certinho por aí? Se você está tendo um pouco de dificuldades nessa questão, não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nosso objetivo nesse problema é calcular a derivada de dada por
A primeira coisa que deve nos chamar a atenção na hora de resolver uma derivada desse tipo, é a carinha que a função tem. Essa é uma função expressa por um quociente entre duas outras funções: a função e a função .
Para esses casos existe uma regra toda especial que podemos aplicar. É a regra do quociente, que diz o seguinte:
Se
Então
Agora o que precisamos fazer é aplicar essa relação aí. Vem comigo pra gente matar essa juntos. 😎
Passo 2
Primeiro de tudo é entender quem é quem.
Vamos chamar
e
E agora precisamos encontrar e .
Começando com .
Como é uma função polinomial, devemos usar a regra do expoente, que diz:
E como o é uma constante, e derivada de constante é igual a zero.
Assim,
Show, já temos o primeiro pedaço.
Passo 3
Agora vamos olhar para a função
Aqui temos que tomar um pouco mais de cuidado, pois essa é uma função composta. Repare que temos a função , dentro de uma raiz quadrada. Ou seja, temos uma função dentro da outro. Por isso dizemos que essa é uma função composta.
Nesses casos, para fazer a derivada dela nós usamos a regra da cadeia, que diz o seguinte:
Se
O que significa que devemos fazer a derivada da função de dentro, vezes a derivada da função de fora.
Então, bora aplicar isso para a nossa função:
Antes repare que a função pode ser escrita como
e a derivada se torna
Que também pode ser escrita como:
Show de bola, agora nós já temos tudo que precisávamos para escrever a derivada da função . Bora lá!!!
Passo 4
Lembrando que
Que
Basta aplicar tudo agora na regra do quociente.
Ficando com:
Eita!!! Ficou bem feio, não foi? Então vamos ajeitar tudo isso aí fazendo algumas manobras algébricas que vão deixar o seu professor felizão e você tirando onda!
Passo 5
Nossa derivada é
Vamos reescrevê-la assim:
No numerador temos duas frações sendo subtraídas. Então vamos tirar o m.m.c. entre os denominadores e , que é o próprio .
Para fazer a operação entre as frações nós dividimos o m.m.c. pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador. O que vai nos deixar com:
Distribuindo a multiplicação do , teremos:
Que nos dá
Agora temos uma fração no numerador, então vamos inverter o denominador multiplicando. Assim:
Que nos dará:
E pronto. Ufa! Sei que essa foi mais chatinha, mas conseguimos. Agora respira fundo, e vamos pra próxima.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌