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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 6, Q09

09) Derive a função. (Se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = 2 x 2 + 2 x + 1 t g ( x )

Passo 1

Faaala galera!!

Precisamos calcular a derivada de f x = 2 x 2 + 2 x + 1 t g ( x ) .

Aqui é bem importante aplicarmos a regra do produto, já que temos o produto de um polinômio por uma função trigonométrica. Essa regra diz que:

Se f x = g x ⋅ h x , então:

f ' x = g ' x ⋅ h x + g x ⋅ h ' ( x )

Além disso, também é importante saber a derivada de um monômio e da tangente.

Monômio: x n ' = n ⋅ x n - 1

Tangente: t g x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Beleza! Vamos chamar:

g x = 2 ( x 2 + 2 x + 1 )

h x = t g ( x )

Então, relembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas, e que na multiplicação por uma constante, ela pode ficar fora da derivação, temos que:

g ' x = 2 x 2 ' + 2 ⋅ x '   1 . x 0 '

g ' x = 2 2 x + 2 = 4 x + 4

Agora usando a derivada da tangente:

h ' x = t g x '

= sec 2 ⁡ x

Passo 3

Pronto, agora é só a gente substituir na regra do produto. Vamos ter que:

f ' x = 4 x + 4 ⋅ t g x + 2 x 2 + 2 x + 1 ⋅ sec 2 ⁡ x

Buscando simplificar um pouco essa expressão, podemos colocar 2 x + 1 em evidência:

f ' x =   2 x + 1 [ 2 t g x + x + 1 ⋅ sec 2 ⁡ x ]

Prontinho 😊

Resposta

f ' x =   2 x + 1 [ 2 t g x + x + 1 ⋅ sec 2 ⁡ x ]

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