Seja f(x) uma função derivável e n um número positivo.

  1. Use a regra do quociente para provar que
  2. (1 / f'(x)) = (f^(‘)(x)) / (f(x)^2)

  3. Use o item anterior para mostrar que

x^(-n)' = -n * x^(-n-1)

Passo 1

Bem, vamos partir pra letra (a) sem mais delongas! Quando vem essas questões de “prova que” costuma dar aquele frio na barriga, né? Mas a tática é sempre você pegar o que está sendo dado e simplesmente aplicar as propriedades de cálculo. Por exemplo, na letra (a) vamos aplicar direto a regra do produto.

Passo 2

(a)

1 f x ' = f ' x f x 2

Aplicando a regra do quociente, o que teremos:

1 f x ' = f ' x 1 - d d x 1 f ( x ) f x 2 = f ' x - 0 × f ( x ) f x 2

1 f x ' = f ' x f x 2

Passo 3

(b)

x - n ' = - n x - n - 1

Vamos reescrever essa equação pra ficar na forma de um quociente!!

1 x n ' = d d x 1 x n - d d x x n 1 x 2 n = - n x n - 1 x 2 n

1 x n ' = - n   x n - 1 x - 2 n = - n x - n - 1

Resposta

a   1 f x ' = f ' x f x 2

b   1 x n ' = - n   x n - 1 x - 2 n = - n x - n - 1

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