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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 5

Derive a função:

f x = 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! O problema deu essa função aqui:

f x = 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x

E pediu sua derivada!

Logo de cara vemos que tem um quociente nessa função: a raiz está dividindo a função cosseno. Então para derivar vamos usar a Regra do Quociente

f x = g h

A derivada de f é:

f ' x = g ' h - h ' g h 2

Então nossa missão é:

  • Identificar g e h e derivar cada uma;
  • Substituir na regra do quociente;
  • E por fim, se for possível, simplificar.

Tranquilo até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é:

f x = 2 x 4 + 2 x 4 cos 2 ⁡ x

Vamos identificar as funções. Em cima temos:

g = 2 x 4 + 2 x 4

Cuja derivada é:

g ' = 1 4 2 x 4 + 2 x - 3 4 . ( 8 x 3 + 2 )

E a de baixo:

h = cos 2 ⁡ x

e derivando temos o seguinte:

h ' = 2 . cos ⁡ x . - s e n x = - 2 s e n x cos ⁡ x

Beleza? Vamos guardar esses resultados!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é substituir esses resultados na regra do quociente:

f ' = g ' h - h ' g h 2

E do passo anterior:

g = 2 x 4 + 2 x 4

g ' = 1 4 2 x 4 + 2 x - 3 4 . ( 8 x 3 + 2 )

E também:

h = cos 2 ⁡ x

h ' = - 2 s e n x cos ⁡ x

Agora é só substituir:

f ' = 1 4 2 x 4 + 2 x - 3 4 . 8 x 3 + 2 . cos 2 ⁡ x - - 2 s e n x cos ⁡ x . 2 x 4 + 2 x 4   cos ⁡ x 4

Vamos simplificar?

Passo 4

Voltando para nossa derivada:

f ' = 1 4 2 x 4 + 2 x - 3 4 . 8 x 3 + 2 . cos 2 ⁡ x - - 2 s e n x cos ⁡ x . 2 x 4 + 2 x 4   cos ⁡ x 4

Separando em duas frações, simplificando os cossenos e transformando o expoente fracionário em radical temos:

f ' = 8 x 3 + 2 4 cos 2 ⁡ x 2 x 4 + 2 x 3 4 + 2 s e n x   2 x 4 + 2 x 4 cos 3 ⁡ x

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ' = 8 x 3 + 2 4 cos 2 ⁡ x 2 x 4 + 2 x 3 4 + 2 s e n x   2 x 4 + 2 x 4 cos 3 ⁡ x

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