UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.6 – Questão P5
Se e , determine
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu uma função
E sobre uma outra função , nos deu algumas informações dela:
E perguntou quanto vale a derivada de no ponto .
Para resolver essa questão precisamos relembrar de algumas coisinhas sobre derivadas
- A derivada da raiz quadrada: a gente transforma a raiz em potência, aplica a regra de derivação de uma potência e transforma de novo para raiz, assim
- Quando a derivada envolve o produto de funções? Aí aplicamos a regra do produto! Ela é assim, seja o produto de duas funções e , a derivada desse produto é
São essas duas ferramentas que vamos precisar! Repara que a função é um produto de duas funções: e
E para derivar a função vamos usar a regra do produto, que envolve a derivada de cada parcela desse produto, então aqui vamos usar a derivada da raiz e a informação da derivada da função no ponto dado,
Então a ideia aqui é a seguinte: aplicar a regra do produto na , derivar o que for preciso, aplicar o ponto dado (aqui é só substituir por ) e usar as informações sobre a função dada!
Beleza?
Mas pode ficar tranquilo que vou fazer com você passo a passo
Passo 2
A função que queremos derivar é
Ela é o produto de duas outras funções: e , então vamos usar a regra do produto!
Como comentei ali no passo 1, a regra do produto para uma função é:
Aqui e . Assim a regra do produto fica:
Também no passo 1 vimos que , então vou substituir:
Tranquilo?
Passo 3
Mas o problema nos pede a derivada de no ponto , então vamos substituir na expressão que acabamos de encontrar:
E aqueles valores de e ? Foram as informações dadas sobre a função ! Embora não saibamos a cara que ela tem, sabemos os valores da função e de sua derivada no ponto que queremos!
Então é só substituir:
Beleza?
