1. Determine a derivadas das funções abaixo.

g. f(x) = x / (x + 3 / x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema é bem direto na pergunta e pede para calcularmos a derivada de f x .

f x = x x + 3 x

Para melhorar a cara dessa função, vamos escrevê-la assim,

f x = x x + 3 x - 1

Repara que temos então uma função que é uma divisçao de duas funções. Então para calcular essa derivada temos que lembrar que:

f x = g x h x → f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Além disso, temos uma soma nessa derivada e para isso temos que lembrar que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

f x = g x ± h x → f ' x = g ' x ± h ' x

Bora aplicar!

Passo 2

A nossa função é

f x = x x + 3 x - 1

Pela regra do quociente teremos,

f ' x = x ' x + 3 x - 1 - x x + 3 x - 1 ' x + 3 x - 1 2

Então o que temos que fazer agora é derivar x ' e x + 3 x - 1 '

Passo 3

Para derivar x ' , vamos usar a regra do polinômio, que diz:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Para o primeiro termo temos que n = 1 ,

x ' = 1 x 1 - 1 = 1

Vamos para a próxima!

Passo 4

Para derivar x + 3 x - 1 ' , vamos aplicar o mesmo raciocínio anterior (lembrando agora da regra da soma),

x + 3 x - 1 ' = x ' + 3 x - 1 '

Aplicando a regra do polinômio, para o primeiro termo onde n = 1 ,

x ' = 1

Para o segundo termo temos que n = - 1

3 x - 1 ' = 3 - 1 x - 1 - 1 = - 3 x - 2

Juntando, ficamos com,

x + 3 x - 1 ' = 1 - 3 x - 2

Passo 5

Pela regra do quociente, tínhamos:

f ' x = x ' x + 3 x - 1 - x x + 3 x - 1 ' x + 3 x - 1 2

Substituindo as derivadas encotradas,

f ' x = 1 x + 3 x - 1 - x 1 - 3 x - 2 x + 3 x - 1 2

f ' x = x + 3 x - 1 - x - 3 x - 1 x + 3 x - 1 2

f ' x = 6 x - 1 x + 3 x - 1 2

Prontinho!

Resposta

f ' x = 6 x - 1 x + 3 x - 1 2

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