Suponha que f(2) = 2, f'(2) = 3, g(2) = 5, g'(2) = -1. Encontre os seguintes valores:

f(x^2)'(2)

Passo 1

E aí, galerinha! Primeira coisa é entender o que significa essa notação que deram pra gente no enunciado. f x 2 ' ( 2 ) nada mais é do que a derivada de uma função dividida pela outra, ou seja, a derivada de um quociente. No caso, temos a função f dividida pela função x 2 e queremos a derivada dessa divisão no ponto em que x = 2 .

Se temos que derivar uma divisão de funções, precisamos da Regra do Quociente, que diz isso aqui

f g ' = f ' . g - f . g ' g 2

avaliar a derivada do que está dentro dos parênteses quando o valor de x , por exemplo, for igual a 2. É por isso que o enunciado deu pra gente uma cacetada de valores pra f , f ' , g   e   g ' quando temos x = 2 .

Então a lógica da questão é: derivada bonitinho o que está dentro dos parênteses e depois vê qual valor (de acordo com enunciado) que cada derivada ou função vai ter.

Passo 2

Vem comigo que agora tudo vai clarear! Vamos derivarrrr!!

f x 2 ' 2 = f ' ( 2 ) x 2 - d d x x 2 f ( 2 ) x 2 2 = f ' 2 x 2 - 2 x f ( 2 ) x 4

De acordo com enunciado, temos que f ' 2 = 3 e g ' 2 = - 1 , f 2 = 2 e g 2 = 5 . E note que nesse problema ainda nos resta a variável x na nossa equação final, certo? Mas o enunciado está sempre pedindo pra gente avaliar os valores das funções quando x = 2 . Então basicamente é o seguinte: onde restou x, vamos substituir por 2.

f x 2 ' 2 = 3 × 2 2 - 2 × 2 × 2 2 4 = 12 - 8 16 = 1 4

Resposta

f x 2 ' 2 = 1 4

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