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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

Calcule a derivada da função abaixo:

y = x 2 x + 2 ( x 3 + 1 )

Passo 1

Como se trata de um produto de 3 funções, vamos utilizar a regra do produto para 3 termos:

y ' = f   x g x h x '

y ' = f ' x ∙ g x ∙ h x + f x ∙ g ' x ∙ h x + f x ∙ g x ∙ h ' x

Vamos agora derivar cada uma das três.

f x = x 2

g x = x + 2

h x = x 3 + 1

Passo 2

Derivando f x , g x e h x :

f ' x = x 2 ' = 2 x

g ' x = x + 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 + 0 = 1 2 x

h ' x = x 3 + 1 ' = 1 3 x - 2 3 + 0 = 1 3 x - 2 3 = 1 3 x 2 3

Passo 3

Aplicando isso na fórmula do Passo 1 teremos:

y ' = f ' x ∙ g x ∙ h x + f x ∙ g ' x ∙ h x + f x ∙ g x ∙ h ' x

Então, cada um desses três termos vai ficar:

f ' x ∙ g x ∙ h x = 2 x x + 2 ( x 3 + 1 )

f x ∙ g ' x ∙ h x = x 2 1 2 x ( x 3 + 1 )

f x ∙ g x ∙ h ' x = x 2 x + 2 1 3 x 2 3

Como y ' é a soma desses três pedacinhos:

y ' = 2 x x + 2 x 3 + 1 + x 2 1 2 x x 3 + 1 + x 2 x + 2 1 3 x 2 3

Resposta

y ' = 2 x x + 2 x 3 + 1 + x 2 1 2 x x 3 + 1 + x 2 x + 2 1 3 x 2 3

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