UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral I - Listas - Teste 9 - Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas - Questão 16 - Alternativa j)
Derive:
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função
Aqui será conveniente utilizarmos a regra do quociente (mas vamos precisar reescrever um pouco o enunciado, beleza?), e também utilizar a regra da cadeia! Em conjunto vamos utilizar algumas derivadas conhecidas! Bora lá!
Passo 2
Vamos reescrever o nosso enunciado lembrando que
Ou seja, podemos escrever que a nossa função é
Com esse formato agora podemos aplicar a regra do quociente! Você lembra qual é a definição? Vem comigo!
Passo 3
Temos que a regra do quociente é tal que
nós temos que e . Ou seja, aplicando a regra, nós temos que resolver a seguinte derivação
A regra do quociente reduziu então uma derivada complicada para uma um pouco mais simples, em termo de derivadas conhecidas! A derivada da exponencial é bastante direta, você lembra qual é? Mas, a derivada da secante teremos que tomar um certo cuidado! Vamos fazer isso agora!
Passo 4
Para tirarmos do caminho, temos que a derivada da exponencial é dada por
Isso é uma propriedade da própria função exponencial. Agora, vamos trabalhar com a derivada da secante! Aqui, vamos precisar usar a regra da cadeia, uma vemos que temos uma função composta da forma , temos que
Utilizando que e que , nós temos que a derivada toma a seguinte forma
Ótimo! Aqui precisamos usar a regra do tombo para a segunda derivada, e podemos tomar como conhecida a derivada da secante! Mas note que é possível demonstrar esta derivada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, esta demonstração está no site resolvida, já que também é uma questão desta lista de exercícios! Agora vamos terminar de resolver essa questão! Vem cá!
Passo 5
Temos que a regra do tombo dá que
ou seja, com , nós encontramos que
e, utilizando que a derivada da secante é
se lembrarmos que , podemos escrever a nossa derivada como
Uff… Tenha calma que estamos quase acabando! Só precisamos juntar todos os nossos resultados e simplificar a expressão! Bora lá!
Passo 6
A derivada original que queríamos calcular era
Utilizando os resultados que obtivemos nos passos anteriores, temos que
Podemos colocar em evidencia, de forma que podemos simplificar a expressão para
Nós também temos que
Portanto, nossa derivada tem o seguinte formato
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!