Calcule a derivada f'(x):

f(x) = (1 / x^3 - 1 / x)(3x^3 + 2x^2 + x)

Passo 1

Fala aí, galera!!! Vamos aplicar a regra do produto aqui, beleza?

Mas pra gente praticar, vamos seguir na regra do produto que diz pra gente que:

f . g ' = f ' . g + f . g '

Assumindo que f = 1 x 3 - 1 x e g = 3 x 3 + 2 x 2 + x

Passo 2

Vamos então aplicar nossa regrinha:

f ' = d d x 1 x 3 - 1 x = d d x 1 x 3 - d d x 1 x

g ' = d d x 3 x 3 + 2 x 2 + x = 9 x 2 + 4 x + 1

Note que na derivada f ' a gente poderia aplicar direto ali a regra do quociente, certo? Só que também podemos facilitar e colocar a fração na forma de uma multiplicação.

d d x 1 x 3 = d d x x - 3 = - 3 x 4

d d x 1 x = d d x x - 1 = - 1 x 2  

Ou seja, temos que f ' = - 3 x 4 + 1 x 2

Aplicando nossa regrinha, temos:

f . g ' = f ' . g + f . g '

f ' x = 1 x 2 - 3 x 4 3 x 3 + 2 x 2 + x + 1 x 3 - 1 x 9 x 2 + 4 x + 1

Fazendo a distributiva temos:

f ' x = 3 x 3 + 2 x 2 + x x 2 - 9 x 3 + 6 x + 3 x x 4 + 9 x 2 + 4 x + 1 x 3 - 9 x 2 + 4 x + 1 x

f ' x = 3 x + 2 + 1 x - 9 x + 6 x 2 + 3 x 3 + 9 x + 4 x 2 + 1 x 3 - 9 x + 4 + 1 x

Vamos agora juntar a galera que está na mesma ordem de grau do polinômio, beleza?

f ' x = - 3 x 3 + 1 x 3 + - 6 x 2 + 4 x 2 + - 9 x + 9 x - 1 x 3 x - 9 x + 2 - 4

f ' x = - 2 x 3 - 2 x 2 - 1 x - 6 x - 2

Resposta

f ' x = - 2 x 3 - 2 x 2 - 1 x - 6 x - 2

Exercícios de Livros Relacionados