UFES– Cálculo 1 – Lista 7 – Questão 10
Derive a função:
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa derivada parece complicada de se resolver, mas vou te ajudar! Temos essa função aqui definida por partes:
E queremos sua derivada!
Quando a função é ‘quebrada’, primeiro precisamos ver se ela é contínua, para depois derivar! Ok?
Mostrando que ela é contínua, então derivamos (com as regras de derivação normais que a gente conhece) os seus pedaços!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Para mostrar que uma função é contínua em um determinado ponto , precisamos que
Nossa função é essa aqui:
Precisamos então verificar se ela é contínua em , pois é onde ocorre essa ‘quebra’, tudo bem?
Mas em já temos o valor, que é mostrado na segunda linha da função:
Então está ok! Agora precisamos descobrir o limite quando , e para isso vamos precisar calcular
esse limite assusta, mas lembra que o limite de um produto é o produto dos limites:
E a função seno é uma função limitada. Ela assume valores entre e 1, não importando o valor de seu argumento.
Já a função assume o valor quando , então o limite da função é:
O que é ótimo! Pois indica que essa função é contínua! E podemos seguir fazendo nossa derivada!
Passo 3
Voltando para nossa função :
Sabemos que ela é contínua, então agora só nos resta derivar as partes.
Para :
E, portanto, sua derivada é zero.
Agora para :
Logo de cara vemos que tem um produto de funções: o seno está multiplicando uma potência fracionária. Então para derivar vamos usar a Regra do Produto
A derivada de é:
Vamos identificar as funções. Para a função temos
Cuja derivada é:
E a :
e derivando temos o seguinte:
Agora é só substituir:
agora só nos resta simplificar:
Ufa! Terminamos! É isso galera! Espero ter ajudado!
Até próxima!