Derive a função:

F(u) = (u^3 - 3u^2) / (raiz((u^4 + 1)^(5/2)))

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! O problema deu essa função aqui:

f u = u 3 - 3 u 2 u 4 + 1 5 / 2

E pediu sua derivada!

Logo de cara vemos que tem um quociente nessa função: um polinômio está dividindo uma potência fracionária. Então para derivar vamos usar a Regra do Quociente

f u = g h

A derivada de f é:

f ' u = g ' h - h ' g h 2

Então nossa missão é:

  • Identificar g e h e derivar cada uma;
  • Substituir na regra do quociente;
  • E por fim, se for possível, simplificar.

Tranquilo até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é:

f u = u 3 - 3 u 2 u 4 + 1 5 / 2

Vamos identificar as funções. Em cima temos:

g = u 3 - 3 u 2

Cuja derivada é:

g ' = 3 u 2 - 6 u

E a de baixo:

h = u 4 + 1 5 / 2

e derivando temos o seguinte:

h ' = 5 2 u 4 - 1 3 2 . 4 u 3

#agalinha

Beleza? Vamos guardar esses resultados!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é substituir esses resultados na regra do quociente:

f ' = g ' h - h ' g h 2

E do passo anterior:

g = u 3 - 3 u 2

g ' = 3 u 2 - 6 u

E também:

h = u 4 + 1 5 / 2

h ' = 5 2 u 4 - 1 3 2 . 4 u 3

Agora é só substituir:

f ' = ( 3 u 2 - 6 u ) . u 4 + 1 5 / 2 - 5 2 u 4 - 1 3 2 . 4 u 3 . ( u 3 - 3 u 2 )   u 4 + 1 5 2 2

Vamos simplificar?

Passo 4

Voltando para nossa derivada:

f ' = ( 3 u 2 - 6 u ) . u 4 + 1 5 / 2 - 5 2 u 4 - 1 3 2 . 4 u 3 . ( u 3 - 3 u 2 )   u 4 + 1 5 2 2

Separando em duas frações, colocando em evidência termos semelhantes, simplificando os cossenos e transformando o expoente fracionário em radical temos:

f ' = 3 u u - 1 u 4 - 1 5 u 4 - 1 5 - 30 u 5 u - 1 u 4 - 1 3 u 4 - 1 5

E por fim temos:

f ' = 3 u u - 1 u 4 - 1 5 - 30 u 5 u - 1 u 4 - 1 7

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ' = 3 u u - 1 u 4 - 1 5 - 30 u 5 u - 1 u 4 - 1 7

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Se f(x) = e^x * g(x) , onde g(0) = 2 e g'(0) = 5 , encontre f'(0) .
Se g for uma função derivável, encontre uma expressão para derivada de cada uma das seguintes funções.y = x * g(x) y = x / g(x) y = g(x) / x
62. a) Se F(x) = f(x) * g(x) , onde f e g tên derivadas de todas as ordens, mostre que F'' = f''g + 2f'g' + fg'' b) Encontre fórmulas análogas para F'''(x) e F^4 .c) Conjecture uma fórmula para F^n.
Derive a função:R(t) = (t + e^t)(3 - raiz(t))