USP – Cálculo I – IME – 2021.1 – Q4
Seja o único número real tal que a reta tangente ao gráfico de no ponto passa pelo ponto . Então o valor de vale quanto?
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Você se lembra como é a reta tangente que passa por uma curva? E mais do que isso, você se lembra como a gente calcula esse parananuê?
A equação de uma reta tangente à uma curva qualquer é dada por:
Onde e são os pontos específicos da curva onde você quer avaliar a reta tangente. Opa, isso te lembra alguma coisa que o enunciado já nos deu? SIMMMMMMM!!
O enunciado falou pra gente que ele quer avaliar o ponto, ou seja:
Por consequência, ele quer avaliar a derivada ali em tal que
Agora que sabemos e conseguimos extrair essas informações do enunicado, vamos seguir!!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função aplicada ao ponto .
Aplicando a regra do quociente:
Aplicado ao ponto
Passo 3
Substituindo na nossa equação da reta, temos:
O problema diz que essa reta PASSA PELO PONTO , isso quer dizer que essa coordenada PERTENCE à reta tangente, logo são valores que e podem assumir na nossa equação acima, e, portanto:
Ou seja, como esse ponto pertence à reta tangente e por consequência a curva, temos que essa coordenada é um ponto comum, e, por se tratar de uma reta tangente à uma curva, ambas estão interecpetadas entre si. Portanto, precisamos igualar a curva no ponto com a curva nesse mesmo ponto:
Resolvendo, temos que:
Passo 4
Portanto, se
Tcharaammmm! Chegamos no valor final que estávamos precisando!!!
Resposta
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