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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 14d

Derive as funções abaixo:

d )   k ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s e n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t g ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos derivar a função k ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) usando as regras de derivação básicas e as derivadas das funções trigonométricas.

A derivada da função secante é s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) e a derivada da função tangente é s e c 2 ⁡ ( x ) . A derivada da função seno é c o s ⁡ ( x ) e a derivada da função cosseno é - s i n ⁡ ( x ) . Vamos usar essas derivadas para calcular a derivada da função k ( x ) .

Primeiro, vamos simplificar k ( x ) um pouco:

k ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) 2 + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) 1 + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) 1 c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) =   s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x )  

Passo 2

Agora, vamos calcular a derivada de k ( x ) usando as derivadas das funções trigonométricas:

k ' ( x ) = ( s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) - ( s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ) s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) + s e c 2 ⁡ ( x ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2

k ' ( x ) =   s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2  

k ' ( x ) = s e c 2 ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c 2 ⁡ ( x ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2 .

Passo 3

S i m p l i f i c a n d o   e   a g r u p a n d o   o s   t e r m o s :

k ' ( x ) = s e c 2 ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) + c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c 2 ⁡ ( x ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2

k ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) 2 - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) 2 + c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2 .

Resposta

Portanto, a derivada da função k ( x ) = s e c ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) em relação a x é:

k ' ( x ) = s e c ⁡ ( x ) 2 - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) 2 + c o s ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ( s e c ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) ) 2

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