UNB – P2 – 2020.2
Derive as funções dos itens “a” e “b” e calcule o limite do item “c”:
Passo 1
Fala aí, pessoal, vamos com calma nessa questão e ler o enunciado com carinho para não fazer besteira. Ele pede para calcular a DERIVADA das letras “a” e “b” e o LIMITE da letra “c”.
Então vamos começar pela derivada da letra “a”:
Veja que temos uma função que é elevado ao cubo dentro de outra função que é a tangente, então precisamos aplicar a Regra da Cadeia:
Derivando esse pequeno polinômio que é elevado ao cubo, encontramos:
Então chegamos na resposta final:
Terminamos a letra “a”, hora de derivar a letra “b”!
Passo 2
Na letra “b” nós vamos derivar a função:
Como nós temos uma divisão, nós podemos usar a Regra do Quociente, beleza? E como se aplica a Regra do Quociente:
Sabemos que quando derivamos uma constante, o resultado é zero, então:
Enquanto no caso da derivada de:
Nós temos que aplicar a Regra da Cadeia, como fizemos na letra “a”:
Voltando para nossa derivada principal, temos:
Podemos simplificar e encontrar:
Prontinho, nem doeu e já acabou a letra “b”!
Passo 3
Se você chegou comigo até aqui, a letra “c” nos pede para fazer um limite bem interessante, veja:
Uma soma elevada a uma função de , sabe o que isso lembra? O Limite Fundamental Exponencial:
Bem, teremos que fazer algumas modificações no nosso limite inicial, mas vamos tentar colocar nesse formato aí. Começando por dentro daquela soma:
Então:
Você concorda comigo que se eu levar o valor de para o limite, onde ele assuma valores muito próximos de zero, o valor de vai crescer tanto que ele se aproxima de infinito? Então:
Então, até agora temos:
Falta só modificar esse valor do expoente:
Já que:
Então:
Voltando ao limite:
Agora sim, estamos exatamente no formato do Limite Fundamental Exponencial. Vamos resolver? Veja:
Como sabemos que:
Então substituindo:
Logo, chegamos em nosso limite lá do início: