UFCG. Cálculo 1. Listas UAMat. Lista 2 Derivadas. Questão 20t.
20 – Derive.
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Passo 1
Fala aí, meu amigo! Tudo belezinha com você?
Vem comigo que vou lhe ajudar a deixar essa questão mais tranquila pra gente resolver. 😉👍
A questão está querendo que a gente calcule a derivada da seguinte função:
Nesse momento a gente tem que ter um pouquinho de sangue frio e calma, porque sabemos que essa função aí não é das mais bonita que a gente já viu, não é mesmo?
Repare bem nela. Temos um quociente onde o numerado é o produto da função pela função , que é uma função composta, e no denominador temos a função , que também é uma função composta.
Da maneira como essa função está escrita, acaba ficando bem trabalhoso fazer a sua derivada. Então nós vamos tentar facilitar um pouco as coisas olhando para a função . Lembrando que:
Pois é! Podemos fazer o inverso e dizer que e substituir na função para torná-la um produto de três funções.
Bora comigo ver como fica isso. 😎
Passo 2
Então vamos tranformar nossa função original.
Assim, a função que vamos derivar agora é:
Que é um produto entre três funções:
A primeira função que é:
A segunda função que é:
E a terceira função que é
Então, basta usarmos a regra do produto, que diz o seguinte:
Repare que a derivada será a soma de três parcelas onde cada uma possui a derivada de uma das funções e a repetição das outras.
Se estiver tudo ok até aqui, vamos começar a desenvolver essas derivadas!
Passo 3
Vamos começar com a derivada da função , que é uma potência de grau 1:
Assim,
E teremos nossa primeira parcela da derivada da função . Que é a derivada da primeira, vezes a segunda, vezes a terceira.
Passo 4
Agora vamos focar na segunda função, a .
Ela é uma função composta do tipo , onde .
A derivada dessa função é dada por
E formamos nossa segunda parcela da derivada da função . Que é a primeira, vezes a derivada da segunda, vezes a terceira.
Passo 5
Chegou a hora de fazermos a última derivada, a derivada da função . Ela também é uma função composta, pois temos o dentro da função . Então vamos usar a regra da cadeia para encontrar sua derivada:
E formamos nossa terceira parcela da derivada da função . Que é a primeira, vezes a segunda, vezes a derivada da terceira.
Prontinho! Essa é a derivada na função .
Passo 6
Agora que já encontramos nossa derivada, vamos arrumar os sinais e colocar no denominador alterando o sinal do expoente, pra nossa resposta ficar mais bonita.
E é isso pessoal. Espero ter ajudado! 😎