UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Trabalho C1 - 2022.1, Questão 2cd
Determine as derivadas, até segunda ordem, das funções abaixo:
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos dá duas funções
precisamos calcular a primeira e segunda derivada de cada uma delas! Para isso vamos utilizar regras básicas como a regra do tombo, a regra do produto e a regra da cadeia, assim como derivadas conhecidas! Belezinha? Vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular primeiro a derivada de
temos que a função acima é definida tal que , em que e , portanto, precisamos usar a regra do produto da forma
Temos que
em que usei a regra do tombo, e usei que a derivada de toda constante é zero! A segunda derivada que precisamos é conhecida da forma
A primeira derivada se torna então
Ou, simplificando, temos que
Beleza! Vamos para a segunda agora!
Passo 3
Usando o resultado que acabamos de obter temos que
que é o mesmo que
Podemos usar a derivada conhecida
e, usando a regra do produto novamente
expandindo os termos, temos que
Usando a derivada conhecida
de forma que usando algumas derivadas que já calculamos antes, temos que
e, a nossa segunda derivada se torna
Beleza! Vamos calcular agora as derivadas da outra função! Saca só!
Passo 4
Temos agora a função
a derivada dessa função será dada por
ou seja, temos duas derivadas de funções compostas para calcular! Portanto, iremos usar a regra da cadeia
Vamos fazer individualmente para cada parte! Saca só!
Passo 5
Começando com
usando que , em que , podemos usar que
e, também a derivada do seno que apresentamos antes, para obter
Agora, temos a seguinte derivada
novamente é uma função composta, usando a regra da cadeia novamente, mas agora com e , temos que
temos a derivada conhecida
e, usando a regra do tombo, temos que
Portanto, a derivada é tal que
e, juntando os dois últimos resultados que obtivemos, temos que nossa derivada se torna
Beleza! Essa foi a primeira! Vamos para a segunda agora!
Passo 6
Usando o resultado que acabamos de obter podemos escrever que
Ou seja, temos duas derivadas para resolver, a primeira é da forma
usando a regra do produto, podemos expandir essa derivada como
Nós já tínhamos calculado que
e, usando a derivada conhecida do cosseno que apresentamos anteriormente, temos que
Beleza! A outra derivada precisará da regra do quociente! Vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 7
Temos que calcular a derivada
como este é um quociente da forma , podemos derivar essa relação usando a regra do quociente
identificando que e , temos que
em que usei a regra do tombo e que derivadas das constantes são todas zero! A segunda derivada que queríamos toma então a forma
Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
e
e