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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1, Questão 15f

Encontre a derivada das seguintes funções:

f)  p ( x ) = t g ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t g ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x )

Passo 1

Vamos encontrar a derivada da função p ( x ) = t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) .Para derivar a função, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia (para a secante e tangente):Primeiro, derivamos o numerador:

d d x ( t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) = s e c 2 ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Agora, derivamos a secante e a tangente no denominador:

d d x ( s e c ⁡ ( x ) ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

d d x ( t a n ⁡ ( x ) ) = s e c 2 ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, usando a regra do quociente, a derivada da função é:

d d x t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) = s e c 2 ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ⋅ ( t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) ) - ( t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) ⋅ s e c 2 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) ) 2

Simplificando:

d d x t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) = s e c 2 ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) ) 2

d d x t a n ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) = s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) ) 2

Resposta

Portanto, a derivada da função p ( x ) em relação a x é s e c ⁡ ( x ) t a n 2 ⁡ ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) ( t a n ⁡ ( x ) - s e c ⁡ ( x ) ) 2 .

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