Encontre a derivada das seguintes funções:

e(k(x)) = (sen(x) - tg(x)) / (cos(x) + sec(x))

Passo 1

Vamos encontrar a derivada da função k ( x ) = s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) .Para derivar a função, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia (para a secante):Primeiro, derivamos o numerador:

d d x ( s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) ) = c o s ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x )

Agora, derivamos a secante no denominador:

d d x ( s e c ⁡ ( x ) ) = s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, usando a regra do quociente, a derivada da função é:

d d x s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) = c o s ⁡ ( x ) - s e c 2 ⁡ ( x ) ⋅ ( c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) - ( s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) ) ⋅ ( s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ) ( c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) 2

Simplificando:

  d d x s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) = c o s 2 ⁡ ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) + t a n ⁡ ( x ) s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) 2     d d x s i n ⁡ ( x ) - t a n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) = c o s 2 ⁡ ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) + t a n 2 ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) 2  

Resposta

Portanto, a derivada da função k ( x ) em relação a x é c o s 2 ��� ( x ) - s e c 3 ⁡ ( x ) + t a n 2 ⁡ ( x ) ( c o s ⁡ ( x ) + s e c ⁡ ( x ) ) 2 .

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