UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.10 - Derivadas de ordens superiores – P1g
Nos itens abaixo, calcule a derivada até a ordem n indicada.
Passo 1
O enunciado pede pra gente derivar essa função 7 vezes, então vamos fazer isso!
Note que está é uma função trigonométrica com outra função dentro, certo? Então vamos aplicar a regra da cadeia na
Quem é a função que está do lado de fora? Seria a função mais externa que é o , certo? E a função “de dentro” seria o , beleza?
Note que agora vamos ficar num “loop” até a derivada de ordem 7 para encontrar o que queremos, massss antes vamos derivar só mais uma vez pra ver se encontramos alguma propriedade que poderia ser aplicada na derivada.
Passo 2
Fazendo a segunda derivada, temos?
Vamos ter que aplicar novamente a regra da cadeia igual fizemos no passo 1, então teremos:
O sinal de menos surgiu porque quando derivamos cosseno, temos MENOS seno como resultado, beleza?
Opa, nossa derivada segunda (ordem ) voltou a ter um pedacinho que era parte da função original dada pelo enunciado, certo? Além disso, a constante aparece elevada a ordem da derivada. TCHARAAAAAMMMM, encontramos então uma certa “regrinha” que está sendo aplicada aqui, afinal, se você fosse derivar de novo essa função aí de cima teríamos:
Vamos observar agora quanto ao sinal que está aparecendo ali na frente. Você concorda comigo que quando eu derivar de novo, o sinal vai se tornar positivo por conta da derivada do cosseno, certo?
O que você observa? Que a cada 2 derivadas o sinal está mudando, e que nas derivadas de ordem ímpar temos o como função trigonométrica.
Portanto se precisamos derivar até a ordem , sabemos que teremos algo assim:
Mas e quanto ao sinal? Vamos avaliar, pois sabemos que a cada duas derivadas temos a mudança de sinal, começando pelo sinal positivo.
Então, temos:
Ordem 2 negativo
Ordem 4 Positivo
Ordem 6 Negativo
Ordem 7 Negativo
Logo, temos: