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Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Trigonométricas

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Enunciado

UFF, Niterói - Campus da Praia Vermelha, Cálculo IA, P1 - 2022.2, Questão 2c

Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. A derivada da função h x = 1 cos 2 ⁡ x - cos ⁡ x é a função h ' x = 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos dá a seguinte função:

h x = 1 cos 2 ⁡ x - cos ⁡ x

E nos pergunta se sua derivada é

h ' x = 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x

Para respondermos isso, podemos utilizar as identidades trigonométricas para simplificar os cálculos e aplicarmos as derivadas.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... sabemos que o cosseno é inverso da secante, ou seja:

h x = 1 cos 2 ⁡ x - cos ⁡ x ∴

h x = sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x

Agora, para derivar, vamos aplicar a regra da cadeia:

d f u d x = d f d u * d u d x

Fazendo f = u 2 ∴ u = x - cos ⁡ x , temos:

h ' x = 2 sec ⁡ x - cos ⁡ x d d x sec ⁡ x - cos ⁡ x  

Passo 3

Resolvendo a derivada que sobrou, temos:

d d x sec ⁡ x - cos ⁡ x = sec ⁡ x - cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x

Agora, substituindo na equação do Passo 2, temos:

h ' x = 2 sec ⁡ x - cos ⁡ x sec ⁡ x - cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x ∴

h ' x = 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ��� x 1 + sin ⁡ x

Dessa forma, podemos concluir que:

h ' x = 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x ≠ 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

h ' x = 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x tan ⁡ x - cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x ≠ 2 sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x - cos ⁡ x

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