USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.26
7.26. (P2, 2016) Seja definida no intervalo fechado . Se é o valor máximo de e se é o valor mínimo de , então o produto é
a. ;
b. ;
c. ;
d. ;
e. .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter o produto entre o ponto máximo e o ponto mínimo da função dentro do intervalo .
E aí, tem ideia do que fazer? 😐
Pra obter esses pontos, vamos usar o método dos pontos críticos. O segredo é obter a derivada da função e igualá-la a , assim vamos obter os valores em no qual há pontos críticos em . Substituindo esses valores de em , podemos compará-los e ver qual é o maior e qual é o menor.
Porém, como o intervalo de análise é fechado, temos que considerar os valores de apenas que estiverem nesse intervalo. Além disso, temos que analisar a fronteira do nosso intervalo, ou seja, temos que calcular o valor da função em e am e comparar com os valores encontrados.
Tranquilo? Bora lá! 😬
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de
Pela regra da cadeia, temos
Igualando a , temos
Como o termo nunca é igual a , então a única opção é que para a equação ser satisfeita.
Assim encontramos dois candidatos para onde é máximo e/ou mínimo.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos calcular a imagem de nesses pontos que encontramos e nos limites do intervalo.
Para
Para
Agora obtendo os valores nos extremos do intervalo
Para
E por fim em
Dessa forma, vemos que o ponto máximo é dado em , onde
E o ponto mínimo em , onde
Portanto, o produto é
Logo, a alternativa correta é a letra c)
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
c)