Achar os valores mínimo e máximo de

b) f(x) = raiz(3 + 2x - x^3), -1/2 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa função aqui

f x = 3 + 2 x - x 3 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

E pediu para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo absoluto dela. Você lembra como fazer isso?

Os pontos de máximo/mínimo são pontos críticos nos quais a função assume seu maior/menor valor. Então precisamos analisar a função derivada! A ideia é derivar, verificar se existem pontos onde ela não existe e igualar a zero para achar onde ela é nula. Com os pontos críticos, vamos testar na função e verificar se temos um menor ou maior valor.

Bora começar?

Não esquece de testar os extremos do intervalo também, vai que a função é máxima ou mínima ali?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Agora vamos derivar nossa função e igualando a zero

f x = 3 + 2 x - x 3  

f ' x = = - 3 x 2 + 2 2 3 + 2 x - x 3

A função derivada no intervalo de definição não tem descontinuidade. Agora vamos ver onde ela é nula

- 3 x 2 + 2 = 0

x 2 = 2 3 → x = ± 2 3    

Nessas abscissas temos o ponto crítico!

Passo 3

Agora vamos testar o ponto crítico e os extremos do intervalo na função:

f x = 3 + 2 x - x 3 ,   - 1 2 ≤ x ≤ 1

f 2 3 = 3 + 2 2 3 - 2 3 3 = 2,022  

f - 2 3 = 3 - 2 2 3 - - 2 3 3 = 1,382

f - 1 2 = 3 + 2 - 1 2 - - 1 2 3 = 2 + 1 8 = 17 8    

f - 1 = 3 + 2 . 1 - 1 3 = 0

Assim o ponto de máximo é em x = 2 3 e de mínimo em x = - 1 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

ponto de máximo é em x = 2 3 e de mínimo em x = - 1 2

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