UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Prof° Sato - Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista de Exercícios, Questão 3.10
Admitindo as propriedades das funções potências, é possível resolver esse exercício sem o auxílio computacional?
Passo 1
Oiiie, tudo certinho contigo?
Que enunciado misterioso não é? Ele está referenciando o exercício desta mesma lista, em que deveríamos usar elementos gráficos para identificar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções
e
Será que conseguimos determinar o crescimento destas funções usando apenas propriedades das funções potência? Vamos discutir um pouco isso!
Passo 2
A primeira função é um polinômio de grau que pode ser escrito da seguinte forma
o lado direito é o produto de um polinômio de grau com um polinômio de grau . O primeiro é uma reta de inclinação e o segundo uma parábola com concavidade para cima . As raízes do segundo polinômio são obtidas por Bhaskara como
Temos que o mínimo desta parábola está em , portanto este polinômio decresce até e cresce após . O polinômio de grau é uma reta crescente então ela está sempre crescendo. é possível garantir que no intervalo
o produto de ambas as funções é crescente! Pois, ambas as funções são crescentes! No entanto, no intervalo
precisamos de cálculo diferencial para determinar o crescimento da função, já que uma função cresce e outra decresce! Ou verificar valores! Vamos analisar agora a outra função!
Passo 3
Temos agora a razão de dois polinômios de grau , da forma
Ambos têm concavidade para cima pois nos dois casos temos . As raízes do polinômio do numerador são
portanto, a parábola no numerador está decrescendo no intervalo
e crescendo no intervalo
O polinômio do denominador tem raízes em
então a função é decrescente no intervalo
e, crescente no intervalo
ou seja, podemos garantir o decrescimento no intervalo , e o crescimento no intervalo , mas no intervalo intermediário
precisaríamos de ferramentas mais sofisticadas de cálculo diferencial! Mas, é possível sim determinar os intervalos de crescimento sem olhar o gráfico!
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Sim, é possível, mas pode ser necessário usar de ferramentas mais sofisticadas de cálculo diferencial!