UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 11.1c
A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada por
,
com h em m e t em segundos. Determine: (c) sua velocidade quando .
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos dá uma função do tempo que para cada instante t retorna a altura de um objeto. Bem, a gente sabe que a taxa de variação da posição em relação ao tempo nada mais é do que a velocidade do objeto. Então, no final das contas, o que precisamos descobrir é a função derivada de h(t) para obtermos uma função que, a cada instante de tempo t, vai nos dizer qual é a velocidade do objeto. Assim, podemos descobrir qual a velocidade do corpo quando a altura atingida por ele é nula. Então vamos lá calcular a derivada!
Passo 2
Como a derivada de uma soma de polinômios é simplesmente a derivada de cada polinômio somado e, como a derivada de um polinômio de grau n é , onde a é uma constante arbitrária, temos que a nossa função velocidade em função do tempo é simplesmente
Agora ficou fácil determinar a velocidade para qualquer instante de tempo! Mas afinal, quando o objeto atinge altura igual à zero? Para descobrir o instante de tempo, só precisamos igualar a posição h(t) à zero! Assim, a gente ach
Os instantes de tempo de altura nula serão, as raízes do polinômio de segundo grau, que são dadas por
Como consideramos que o movimento começa em t=0, a única raiz que possui significado físico é t = 7s. Então, para descobrir quanto vale a velocidade do objeto quando ele atinge altura nula (em 7 s), só precisamos substituir t = 7s na expressão obtida para a velocidade em função do tempo. Assim, achamos
Esse resultado nos diz que, ao atingir o chão, a taxa de variação da posição em relação ao tempo é -128 m/s, o que é consistente com o movimento de queda do objeto e, por isso, o valor negativo para a velocidade.