UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 5
Após o consumo de uma bebida alcoólica, a concentração de álcool no sangue (CAS) aumenta rapidamente à medida que o álcool é absorvido, seguida por uma diminuição gradual conforme o álcool é metabolizado pelo fígado. A função
modela a CAS média, medida em mg/mL, de um grupo de oito indivíduos do sexo masculino horas depois do consumo rápido de de etanol (correspondendo a uma dose de bebida alcoólica). Qual é a CAS média máxima durantes as primeiras horas? Quando ela ocorre?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado conta toda essa historinha pra nos pedir o valor máximo da nossa função . Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.
Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado nós precisamos:
1. Encontrar os valores de nos números críticos de em .
2. Encontrar os valores de nas extremidades do intervalo.
3. O maior valor entre as etapas e é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando ela em relação a , usando a regra do produto, vamos obter:
Igualando esse resultado a zero, temos:
E isolando :
Então, temos o ponto crítico . Substituindo esse valor na função, temos:
Mas, nós queremos saber a CAS média máxima durantes as primeiras horas, ou seja, no intervalo . Então, vamos calcular o valor da função nos extremos desse intervalo.
Para , temos:
E para , temos:
Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto da função no intervalo ocorre em . Logo, a CAS média máxima ocorre a e em .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉