Um balão esférico perde ar por um furo de tal forma que seu raio diminui a uma taxa de 2 * cm / min . Qual a taxa de diminuição do volume, quando o raio do balão é r = 50 cm ?

Passo 1

Vamos usar a fórmula do volume de uma esfera para relacionar a taxa de variação do volume d V / d t com a taxa de variação do raio d r / d t

A fórmula do volume de uma esfera é V = 4 3 π r 3 onde V é o volume e r é o raio da esfera.

Primeiro, derivamos ambos os lados da equação com relação ao tempo t

d V d t = 4 π r 2 d r d t

Passo 2

Dado que a taxa de variação do raio é - 2 c m / m i n ou seja, d r d t = - 2   c m / m i n , e queremos encontrar a taxa de variação do volume quando o raio do balão é r = 50   c m , podemos substituir esses valores na equação derivada:

d V d t = 4 π 50 c m 2 ⋅ ( - 2   c m / m i n )

Calculando o valor numérico:

d V d t = - 200 π   c m 3 / m i n

Portanto, quando o raio do balão é 50   c m , a taxa de diminuição do volume é - 200 π c m 3 / m i n , aproximadamente - 628.32   c m 3 / m i n .

Resposta

Portanto, quando o raio do balão é 50   c m , a taxa de diminuição do volume é - 200 π c m 3 / m i n , aproximadamente - 628.32   c m 3 / m i n .

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