UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Trabalho C1 - 2022.1, Questão 3a
Para cada função abaixo determine: pontos críticos, extremos relativos (isto é, máximos e mínimos locais), intervalos de crescimento e de decrescimento.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Precisamos analisar a função
e encontrar os seus pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento. Todas estas coisas estão relacionadas ao sinal da primeira e segunda derivadas! Então vamos começar a achar elas! Belezinha?
Passo 2
Primeiro, os pontos de equilíbrio podem ser encontrados, uma vez que eles estão relacionados a seguinte expressão
ou seja, precisamos achar para quais isso é verdade! A nossa função é um polinômio, então, usando a regra do tombo
temos que
ou, simplesmente
Vamos usar isso para achar os pontos de equilíbrio!
Passo 3
Precisamos de para que
Se evidenciarmos um , temos que
Então temos dois valores possíveis para anular a derivada e com multiplicidade . Agora, vamos usar esses pontos críticos para achar os nossos extremos!
Passo 4
Os pontos críticos indicam onde a derivada é nula (uma reta tangente horizontal), portanto, esses pontos estão relacionados a máximo, mínimos ou pontos de inflexão, eles definidos pela segunda derivada, temos que
Ponto de Máximo local
Ponto de Mínimo local
Ponto de Inflexão!
Então, vamos calcular a segunda derivada! Usando a regra do tombo temos que
obtemos então que
Em , temos que
portanto, na coordenada , temos um ponto de inflexão! E, em , temos que
como , temos que este é um ponto de mínimo local! Falta só analisar os intervalos de crescimento! Vem comigo!
Passo 5
Primeiro, vamos ver o valor da função nos pontos críticos, temos que
e, também
Como não há nenhum ponto crítico entre e , podemos avaliar um ponto entre ambos e verificar o sinal da derivada, temos que para , que
Portanto, como , temos que a função é decrescente entre e . Também não há nenhum ponto crítico para valores , portanto, escolhendo um valor qualquer , temos que
como , a função é decrescente no intervalo . Falta apenas testar para , usando que , temos que
como , temos que a função é crescente no intervalo . Maravilha! Creio que isso é tudo! Até a próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!