Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como

máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente

j )   f x = x ln ⁡ x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x ln ⁡ x

E pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?

“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar f ( x ) e igualar a zero.

“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo

E por fim “determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x ln ⁡ x

Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:

f ' x = 1 . ln ⁡ x - 1 x . x ln ⁡ x 2 = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2 = 0

ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2 = 0

ln ⁡ x - 1 = 0 → ln ⁡ x = 1

E aplicando a definição dos logs:

e 1 = x

x = e

Beleza? Temos apenas um ponto crítico: em x = e , agora vamos substituir na função e descobrir a ordenada:

f e = e ln ⁡ e = e

Então o ponto crítico é

( e , e )

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada em torno desse ponto de x = e :

  • Para x < e , mas maior do que zero (em zero a derivada não está definida):
  • f ' x = ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x 2

    Temos que em x = 1 a função apresenta uma descontinuidade, então precisamos analisar em torno. Entre 0 e 1 , o valor de ln ⁡ x → - ∞ , o que torna a a derivada negativa

    Depois de x = 1 , com 1 ≤ x ≤ e , o valor de ln ⁡ x ainda é pequeno, sendo menor do que 1 (mesmo que positivo), e o numerador

    ln ⁡ x - 1

    Fica negativo

    Então entre 0 e 1 e entre 1 e e a derivada assume valores negativos, então nesses intervalos a função é decrescente

    d e c r e s c e n t e : ( 0,1 ) U ( 1 , e )

  • Para x > e :

f ' 2 e = ln ⁡ 2 e - 1 ln ⁡ 2 e 2 > 0

E à medida que x aumenta, o termo ln ⁡ 2 e > 1 , então temos que a derivada é positiva dali em diante, sendo a função crescente nesse intervalo

c r e s c e n t e : ( e , ∞ )

Beleza?

Passo 4

Agora vamos classificar esse ponto!

Em torno de x = e a derivada passou de valores negativos para positivos, então esse é um ponto de mínimo local

Obs1.: o x = 1 não é ponto crítico, é apenas uma descontinuidade. Não veríamos troca do sinal da derivada em torno desse ponto

Obs2.: nem a função e nem a derivada estão definidas para x < 0 , então não faz sentido analisar nesse intervalo, ok?

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

e , e   m í n i m o   l o c a l

c r e s c e n t e   e , ∞

d e c r e s c e n t e   ( 0,1 ) U ( 1 , e )

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