UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 9 – Questão 5l
Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como
máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essa função aqui
E nos disse que pertence ao intervalo referente a um período do seno
Ele também pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?
“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar e igualar a zero.
“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo
E por fim “determinar os intervalos onde é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa função é
Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:
Aqui temos apenas um ponto crítico, em , pois lembra que ok?
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora vamos analisar a derivada! Nossa derivada é:
Vamos avaliar em torno do ponto de :
- Para : o cosseno assume valores menores do que , sendo que de assume apenas valores positivos, então a derivada entre até
- Para : a função cosseno volta a assumir valores menores do que ! Já que em é o ponto em que o cosseno assume seu menor valor!
Beleza? Será que nossa derivada vai trocar de comportamento?
Então não tem como a derivada assumir valores negativos!
Então em torno de não temos nem máximo, nem mínimo! Ele é apenas um ponto crítico!
Beleza?
E significa que desde até a função é crescente
Passo 4
Agora vamos classificar o ponto!
Em torno de a derivada não mudou seu comportamento, isso significa que esse ponto é apenas um ponto crítico, não sendo classificado nem como máximo, nem como mínimo!
Então a função não apresenta pontos de máximo ou mínimo locais!
E é isso! Espero ter ajudado!