Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como

máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente

l )   f x = x + s e n x ,   x ∈ ( 0,2 π )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = x + s e n x

E nos disse que x pertence ao intervalo referente a um período do seno

x ∈ ( 0,2 π )

Ele também pediu diversas coisas, vamos juntos decifrar o que significa cada uma dessas coisas?

“determine os pontos críticos”: pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual a zero. Então aqui precisamos derivar f ( x ) e igualar a zero.

“classifique-os como máximos e mínimos locais”: um ponto de máximo será quando em torno do ponto crítico a derivada passou de positiva para negativa. E um ponto de mínimo acontece quando em torno do ponto, a derivada passa de um valor negativo para positivo

E por fim “determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente”: a função apresenta um comportamento crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando é negativa

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x + s e n x  

Para fazer a análise dos pontos críticos precisamos achar a derivada e igualar ela a zero:

f ' x = 1 + cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = - 1

Aqui temos apenas um ponto crítico, em x = π , pois lembra que x ∈ 0,2 π , ok?

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Nossa derivada é:

f ' x = 1 + cos ⁡ x

Vamos avaliar em torno do ponto de x = π :

  • Para x < π : o cosseno assume valores menores do que - 1 , sendo que de 0 < x < π 2 assume apenas valores positivos, então a derivada entre 0 até π
  • f ' x > 0

    Beleza? Será que nossa derivada vai trocar de comportamento?

  • Para π < x < 2 π : a função cosseno volta a assumir valores menores do que - 1 ! Já que em x = π é o ponto em que o cosseno assume seu menor valor!

f ' 5 π 4 = 5 π 4 - cos ⁡ 5 π 4 = 5 π 4 - 2 2 >   0

Então não tem como a derivada assumir valores negativos!

Então em torno de x = π não temos nem máximo, nem mínimo! Ele é apenas um ponto crítico!

Beleza?

E significa que desde x = 0 até 2 π a função é crescente

c r e s c e n t e : ( 0 , 2 π )

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto!

Em torno de x = π a derivada não mudou seu comportamento, isso significa que esse ponto é apenas um ponto crítico, não sendo classificado nem como máximo, nem como mínimo!

Então a função não apresenta pontos de máximo ou mínimo locais!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

x = π   p o n t o   c r í t i c o   a p e n a s

c r e s c e n t e   0 , 2 π

d e c r e s c e n t e : n u n c a

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