UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 4f
Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.
(f) ,
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.
Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado nós precisamos:
1. Encontrar os valores de nos números críticos de em .
2. Encontrar os valores de nas extremidades do intervalo.
3. O maior valor entre as etapas e é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Pra encontrar os valores de nos números críticos do intervalo , precisamos encontrar esses números críticos. Como nossa função existe para todo , os únicos números críticos de ocorrem quando .
Assim, derivando usando a regra da cadeia, temos:
Igualando esse resultado a zero:
Encontramos as soluções para a função periódica:
Onde . Mas no intervalo , vamos ter apenas e . Substituindo esses valores na função, temos:
Passo 3
Agora vamos calcular os valores de nas extremidades do intervalo. Assim, para vamos ter:
E para , temos:
Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é e o valor mínimo absoluto é .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉