Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.

(f) f x = 2 cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( 2 x ) , 0 , π 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo dado. Pra isso, vamos usar o método do intervalo fechado.

Esse método nos diz que para encontrar valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [ a ,   b ] nós precisamos:

1. Encontrar os valores de f nos números críticos de f em ( a ,   b ) .

2. Encontrar os valores de f nas extremidades do intervalo.

3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 2 cos ⁡ x + sin ⁡ 2 x

Pra encontrar os valores de f nos números críticos do intervalo 0 , π 2 , precisamos encontrar esses números críticos. Como nossa função existe para todo x , os únicos números críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 .

Assim, derivando usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = - 2 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ ( 2 x )

Igualando esse resultado a zero:

f ' x = 0

- 2 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ ( 2 x ) = 0

Encontramos as soluções para a função periódica:

x = 3 π 2 + 2 k π ,     x = π 6 + 2 k π ,     x = 5 π 6 + 2 k π

Onde k ∈ Z . Mas no intervalo 0 , π 2 , vamos ter apenas x = π 6 e x = 5 π 6 . Substituindo esses valores na função, temos:

f π 6 = 2 cos ⁡ π 6 + sin ⁡ 2 ∙ π 6 = 2 3 2 + sin ⁡ π 3 = 3 + 3 2

f 5 π 6 = 2 cos ⁡ 5 π 6 + sin ⁡ 2 ∙ 5 π 6 = 2 3 2 + sin ⁡ 5 π 3 = - 3 - 3 2

Passo 3

Agora vamos calcular os valores de f nas extremidades do intervalo. Assim, para x = 0 vamos ter:

f 0 = 2 cos ⁡ 0 + sin ⁡ 2 ∙ 0 = 2

E para x = π 2 , temos:

f π 2 = 2 cos ⁡ π 2 + sin ⁡ 2 ∙ π 2 = 0

Comparando esses resultados, vemos que o valor máximo absoluto no intervalo é f π 6 = 3 + 3 2 e o valor mínimo absoluto é f 5 π 6 = - 3 - 3 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M á x i m o   a b s o l u t o → π 6 , 3 + 3 2

M í n i m o   a b s o l u t o → 5 π 6 ,   - 3 - 3 2

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