Calcule os pontos críticos (se existirem) de:

(b) f(x) = (4 * x^2 - 3 * x - 1)^(1/7)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos críticos da função f ( x ) , se eles existirem.

Pra isso, a gente tem que lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada dela é nula ou não existe. Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada, f ' ( x ) , analisar a expressão obtida (pra ver se existe algum ponto onde ela não existe) e igualar essa derivada a zero, para encontrar os valores críticos da função.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 4 x 2 - 3 x - 1 7

Derivando usando a regra da cadeia, vamos ter:

f ' x = 7 4 x 2 - 3 x - 1 6 ∙ d d x ( 4 x 2 - 3 x - 1 )  

f ' x = 7 4 x 2 - 3 x - 1 6 ( 8 x - 3 )

Como essa é uma função polinomial, ela existe para todos os valores de x . Então, só nos resta igualar a expressão a zero para encontrar nossos pontos críticos. Fazendo:

f ' x = 0

7 4 x 2 - 3 x - 1 6 ( 8 x - 3 ) = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro, um dos termo precisa ser zero. Assim, temos:

7 4 x 2 - 3 x - 1 6 = 0

→ 4 x 2 - 3 x - 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

x = 3 ± 9 + 16 8

→ x = 1             e             x = - 1 4

Agora pegando o outro termo:

8 x - 3 = 0

→ x = 3 8

Isso significa que os pontos críticos dessa função, que zeram a nossa derivada, se encontram em x = 1 , x = - 1 4 e x = 3 8 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = 1 ,     x = - 1 4 ,     x = 3 8

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