UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - IME UERJ - Aplicações das derivadas, Questão 16g
Calcule os pontos de máximo e de mínimo relativos (se existirem) de:
(g)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de máximo e de mínimo relativos da função. Eles são relativos porque podem ser máximos/mínimos locais ou globais, beleza?
Mas o quê que pontos de máximo e mínimo tem em comum? Isso mesmo, a derivada da curva é nula naquele ponto. Ou seja, se em temos um ponto de máximo ou mínimo, ent��o:
Como a gente sabe que os pontos onde a derivada é zero ou não existe são chamados de pontos críticos, a gente já conclui que pontos de máximo/mínimo serão sempre pontos críticos da função.
Tá, mas agora como diferenciar os pontos que são de máximo dos pontos que são de mínimo? Pra isso, existe o teste da segunda derivada. Porque dada uma função e sendo um ponto crítico da função, teremos:
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Vamos começar derivando ela para encontrar seus pontos críticos. Derivando usando a regra da cadeia, temos:
Agora vamos igualar esse resultado a zero:
Pra que esse produto seja verdeiro, temos ou . E como o seno é um função periódica, temos que pensar nos valores do argumento que zeram ele. Assim, tendo como um número inteiro, vamos ter:
Ou
Então esses são os candidatos a máximo ou mínimo da função.
Passo 3
Agora derivando novamente, encontramos a segunda derivada:
Substituindo em , temos:
Como a gente só tá interessado no sinal da segunda derivada e é um número inteiro qualquer, a gente pode avaliar a expressão na forma:
Então, para . O mesmo acontece com , porque elevaríamos ao quadrado e o resultado seria o mesmo.
Agora para , vamos fazer da mesma forma, calculando para :
Então, em , temos . Portanto, para teremos pontos de mínimo e para , teremos pontos de máximo na função.
Onde .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉