Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

d) lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 - x + 1 x 3 - 2 x 2 + x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 1 ⁡ x 3 - x 2 - x + 1 x 3 - 2 x 2 + x

Repare que substituindo x = 1 na função, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, pra fugir da indeterminação. Assim, temos:

lim x → 1 ⁡ 3 x 2 - 2 x - 1 3 x 2 - 4 x + 1

Continuamos na indeterminação 0 0 , então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → 1 ⁡ 6 x - 2 6 x - 4

Agora sim, aplicando o limite:

6 1 - 2 6 1 - 4

= 4 2 = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2

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