Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

k) lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x   .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x  

Aqui a gente tem uma forma indeterminada ∞ 0 e vamos tentar fugir dela. Primeiro vamos assumir que esse limite tenha um valor finito L :

L = lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x  

Uma ferramenta útil nesses casos é usar a propriedade a = e ln ⁡ a . Assim, temos:

L = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 x  

Que pode ser reescrito usando outra propriedade de logaritmo log ⁡ ( a b ) = b log ⁡ a :

L = lim x → + ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ e x + x  

E a gente pode mover o limite pra dentro da exponencial, já que ela é uma constante. Fica assim:

L = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Passo 3

Esse limite no expoente nos gera uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, vamos usar a regra de L’Hospital para fugir dele. Derivando a fração em cima e embaixo separadamente :

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → + ∞ ⁡ e x + x e x + 1 1

= lim x → + ∞ ⁡ e x + x e x + 1

A gente continua na indeterminação ∞ ∞ , então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x

Olha a indeterminação de novo. Então vamos de L’Hospital mais uma vez:

lim x → + ∞ ⁡ e x e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Agora vamos voltar no nosso limite original do passo 2 e substituir:

L = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

L = e 1

= e

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e

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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)