UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 73k
Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
k) .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?
Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo , , , , , e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.
Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Aqui a gente tem uma forma indeterminada e vamos tentar fugir dela. Primeiro vamos assumir que esse limite tenha um valor finito :
Uma ferramenta útil nesses casos é usar a propriedade . Assim, temos:
Que pode ser reescrito usando outra propriedade de logaritmo :
E a gente pode mover o limite pra dentro da exponencial, já que ela é uma constante. Fica assim:
Passo 3
Esse limite no expoente nos gera uma indeterminação do tipo . Então, vamos usar a regra de L’Hospital para fugir dele. Derivando a fração em cima e embaixo separadamente :
A gente continua na indeterminação , então vamos aplicar L’Hospital novamente:
Olha a indeterminação de novo. Então vamos de L’Hospital mais uma vez:
Agora vamos voltar no nosso limite original do passo e substituir:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉