Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

j) lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x sec ⁡ π 2 - x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x sec ⁡ π 2 - x

A secante de π 2 é indefinida, então não daria pra gente simplesmente substituir x = 0 . Mas usando a identidade trigonométrica sec ⁡ π 2 - x = csc ⁡ x , temos:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x csc ⁡ x

Mas csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x , também é uma identidade trigonométrica. Assim, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x sin ⁡ x

Agora aplicando a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 + 1 cos ⁡ x

E aplicando o limite, temos:

1 0 2 + 1 cos ⁡ 0 = 1 1

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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