Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

g) lim x → 0 ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente. E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x

Aqui, substituindo zero na função, nós temos uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ . Rescrevendo essas funções usando as identidades trigonométricas csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x e cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x , temos:

lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ x - cos ⁡ x sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sin ⁡ x

Agora temos uma indeterminação do tipo 0 0 e não vamos ter pra onde correr rs, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ 0 - ( - s in ⁡ x ) cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x

Agora podemos aplicar o valor do limite:

sin ⁡ 0 cos ⁡ 0 = 0 1

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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