Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:

b) lim x → 0 ⁡ x + sin ⁡ ( 2 x ) x - sin ⁡ ( 2 x ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o valor do limite usando a Regra de L’Hospital. Mas como é mesmo essa regra?

Bom, a regra de L’Hospital salva nossa vida quando temos uma indeterminações do tipo ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ , 1 0 e por aí vai. Para os casos da interminação nos quocientes, o que nós fazemos é derivar a função no numerador e derivar a função no denominador separadamente.E no caso das outras indeterminações, a gente sempre vai tentar transformar a função em um quociente pra depois aplicar a regra de L’Hospital.

Pode aplicar quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação e conseguir aplicar o limite, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ x + sin ⁡ 2 x x - sin ⁡ 2 x

Repare que substituindo x = 0 na função, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos aplicar L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente, pra fugir da indeterminação. Assim, usando a regra da cadeia na derivação, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 cos ⁡ 2 x 1 - 2 cos ⁡ 2 x

Como não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:

= 1 + 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 1 - 2 cos ⁡ 2 ∙ 0

= 1 + 2 ( 1 ) 1 - 2 ( 1 ) = 3 - 1 = - 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 3

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